- لزوم استفاده از جبر بول
- اصول و قضایای جبر بول
- معرفی توابع سوئیچینگ
- جدول درستی توابع
- پیاده سازی سیستم مبتنی بر 0 و 1 برای کامپیوترهای دیجیتال
- استفاده از جبر بول و منطق درست یا نادرست
تعریف جبر بول
سیستمی متشکل از مجموعه ای مانند K با دو یا چند عضو و دو عملگر AND (.) و OR (+) به طوریکه اگر a و b عضو K باشندb 0a و a+b نیز عضو مجموعه K باشند.
اصول جبر بول
الف) عناصر منحصر به فرد 0 و 1 عضو مجموعه K هستند:
a+0=a
a.1=a
عناصر همانی
ب)خاصیت جابجایی:
برای هر عضو a و b در K
a+b=b+a
a.b=b.a
ج)خاصیت شرکت پذیری:
برای هر a,b,c در K
a+(b+c)=(a+b)+c
a.(b.c)=(a.b).c
د)توزیع پذیری:
برای هرa,b,c در K:
(a+(b.c)=(a+b).(a+c
(a.(b+c)=(a.b)+(a.c
ه) وجود متمم:
برای هر a در K یک عضو منحصر به فرد ¯a در K وجود دارد به طوریکه:
برای راحتی در نگارش
معمولاً از نوشتن . در عبارتها صرف نظر می کنند:
a.b=ab
| هم ارزی | a+a=a a.a=a |
| عضو بی اثر برای . و + | برای عمل +:a+0=a برای عمل . :a.1=a |
| قضیه بازگشت | −−−− |
| قضیه جذب | a + ab = a a(a+b) = a |
| قضیه شبه جذب | −−−− |
| دمورگان | −−−− |
توابع سوئیچینگ
تابعی از چند متغییر بولی و عملگرهای . و + مانند:
f(a ,b ,c)= ab + ac + bc
اگر n متغیر داشته باشیم
هر متغیر دو حالت: 0 و 1
بنابراین: 2 به توان n حالت مختلف از ترکیب ورودی ها داریم
مثال:
| a |
| 0 |
| 1 |
| b | a |
| 0 | 0 |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
جدول درستی
برای هر تابع سوئیچینگ یا مدار منطقی می توان یک جدول درستی یا جدول مشخصات تعریف کرد که این جدول بیان کننده وضعیت مدارخواهد بود.
در جدول درستی تمامی حالتهای مختلف ورودی های تابع را نشان می دهیم ، سپس به ازای هر ترکیب ورودی بر اساس عملکرد تابع ، خروجی را مشخص می کنیم. به عبارت دیگر این جدول بیان کننده عملکرد منطقی تابع و مدار معادل آن است.
فرمهای متعارف SOP و POS
مینترم ها و ماکسترم ها
گیتهای منطقی
قطعات الکترونیک گیت ها
فرمهای متعارف برای نمایش توابع سوئیچینگ
SOP: جمع جملات کمینه
POS: ضرب جملات بیشینه
SOP جمع حاصلضرب ها
OR کردن عبارتهای AND شده
POS ضرب حاصلجمع ها
AND کردن عبارتهای OR شده
جملات کمینه و بیشینه یا
Minterm
Maxterm
Minterm ها
m
جمله ضرب از همه n متغیر یک تابع به صورت متمم یا غیرمتمم
در تابع n متغیره 2 به توان n حالت از مینترم ها را داریم
Maxterm ها
M
جمله جمع از همه n متغیر یک تابع به صورت متمم یا غیرمتمم
در تابع n متغیره 2 به توان n حالت از ماکسترم ها را داریم
شماره گذاری مینترم ها و ماکسترم ها
تعداد متغیر : n
تعداد مینترم یا ماکسترم : 2 به توان n
m0…mn-1
M0…Mn-1
برای پیدا کردن فرم یک مینترم یا ماکسترم از روی اندیس آن
1)عدد اندیس m یا M را به مبنای 2 می بریم
2)در مینترم به جای 1 خود متغیر و به جای 0 متمم آن را قرار می دهیم
3)در ماکسترم به جای 0 خود متغیر و به جای1 متمم آن را قرار می دهیم
مدارهای منطقی دیجیتال یا مدارهای سوئیچینگ
ترکیب سری و موازی عناصری به نام گیت
گیت: مسیرهای باز یا بسته سیگنال
به لحاظ ساختار فیزیکی قادرند در طی چند نانوثانیه روشن یا خاموش شوند
در طراحی الکترونیکی مدارهای منطقی دو استاندارد معروف به کار می رود:
TTL
در این منطق، 5 ولت معادل 1 منطقی می باشد.
CMOS
در این منطق، 12 ولت معادل 1 منطقی می باشد.
انواع گیت
گیت AND :همانطور که از نامش پیداست مانند “و” رفتار می کند یعنی در صورتی که یکی از ورودیهای آن 0 باشد خروجی آن صفر خواهد بود.
| OUT | IN | IN |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
گیت OR :
| OUT | IN | IN |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
گیت NOT:این گیت در ازای ورودی 0 یا 1 معکوس آن را به خروجی می فرستد.
IN=0 —-> OUT=1
IN=1 —-> OUT=0
گیت NOR: این گیت به عنوان یک المان منطقی ساده، عمل دو گیت OR و NOT را با هم ادغام کرده، در یک گیت نشان می دهد و شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی می شود.
| OUT | IN | IN |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
گیت NAND: این گیت به عنوان یک المان منطقی ساده، عمل دو تابع AND و NOT را با هم ادغام کرده، و در یک گیت نشان می دهد. این مدار شامل دو یاچند ورودی و یک خروجی است.
| OUT | IN | IN |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
گیت XOR: این گیت شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی است. در گیت XOR در صورتی خروجی ما یک می شود که فقط یکی از ورودیهای ما یک باشد.
| OUT | IN | IN |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
گیتXNOR: این گیت شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی است در گیت XNOR در صورتی خروجی یک می شود که یا هر دو ورودی صفر و یا هر دو ورودی یک باشد.
| OUT | IN | IN |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
